El piloto británico empezó en el karting a la edad de ocho años antes de pasar a la Fórmula Ford con Martin Donnelly Racing. Cambió a Van Diemen en 2002, donde terminó cuarto en el campeonato.

Conway pasó a la Formula Renault en 2003 con Fortec, terminando cuarto en el campeonato, y después consiguió el título con el mismo equipo al año siguiente.

La Formula 3 fue el siguiente paso, de nuevo con Fortec, donde Conway terminaba tercer en el campeonato en 2005. En 2006, el paso a RRR le daba el prestigioso título de F3 y la victoria en el Gran Premio de Macao.

Conway compitió en el campeonato de GP2 con Super Nova en 2007, terminando 14º del campeonato. Aunque la temporada de GP2 no fue tan bien como había previsto, se incorporó al Honda Young Driver Programme y en 2008 probará con el equipo de F1 y competirá en GP2 con Trident Racing.